بيرلمان: الرجل الذي حل مسألة المليون دولار ثم رفض المليون
حدسية بوانكاريه • البرهان • معنى الاعتراف
ماذا يفعل الإنسان عندما يحل مسألة قاومت أعظم الرياضيين قرابة قرن، ثم يقف العالم أمامه بالميدالية والمليون دولار… فيدير ظهره ويمضي؟
في أغسطس/آب 2006، اجتمع نخبة علماء الرياضيات في مدريد لحضور المؤتمر الدولي للرياضيات.
كان من المفترض أن يتقدم أربعة علماء لتسلّم ميدالية فيلدز، إحدى أرفع الجوائز في عالم الرياضيات.
لكن أحد المقاعد بقي فارغًا.
الرجل الذي كان يفترض أن يجلس فيه لم يأتِ.
كان اسمه غريغوري بيرلمان.
لم يكن قد أخفق في المسألة التي كرّس لها سنواته.
بل حدث العكس تمامًا.
كان قد فعل شيئًا حاول الرياضيون فعله طوال نحو مئة عام:
حل حدسية بوانكاريه.
ومع ذلك رفض الميدالية.
وبعد أربع سنوات، عندما عرض عليه معهد كلاي جائزة قدرها مليون دولار مقابل الإنجاز نفسه، رفضها أيضًا.
ومن هنا بدأت الأسطورة.
لكن المليون ليس أهم ما في قصة بيرلمان.
بل ربما يكون التركيز عليه هو الطريقة الخطأ لفهم الرجل.
لأن القصة الحقيقية بدأت قبل أن يولد بيرلمان بأكثر من ستين عامًا.
—
سؤال بدأ عام 1904
كان عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه يفكر في واحد من أكثر الأسئلة غرابة وجمالًا:
كيف نعرف شكل فضاء لا نستطيع أن نقف خارجه وننظر إليه؟
لنبدأ بشيء أبسط.
تخيل كرة.
ضع حول سطحها رباطًا مطاطيًا مغلقًا.
مهما حرّكته، يمكنك أن تقلص الحلقة تدريجيًا حتى تصبح نقطة واحدة، من دون أن تقطعها.
الآن تخيل كعكة على شكل حلقة — دونات.
ضع الرباط حول الثقب.
لن تستطيع تقليصه إلى نقطة من دون قطعه، لأن الثقب يقف في الطريق.
بالنسبة إلى عالم الطوبولوجيا، هذا الاختلاف ليس تفصيلًا.
إنه يكشف هوية الشكل.
فالطوبولوجيا لا تهتم كثيرًا بطول الجسم أو لونه أو مدى انحنائه، بل بما يبقى فيه حتى لو مددته أو ضغطته أو شوّهته من دون تمزيق.
وبوانكاريه سأل شيئًا أكثر تعقيدًا بكثير.
إذا كان لدينا فضاء ثلاثي الأبعاد مغلق، وكل حلقة داخله يمكن أن تُقلَّص إلى نقطة، فهل يعني ذلك أن هذا الفضاء، من الناحية الطوبولوجية، هو كرة ثلاثية الأبعاد؟
كان يعتقد أن الجواب نعم.
لكن في الرياضيات، الاعتقاد لا يكفي.
كان المطلوب:
البرهان.
وهكذا ولدت عام 1904 حدسية بوانكاريه.
—
مئة عام تقريبًا من كلمة واحدة: أثبتها
مرت العقود.
تعاقبت أجيال من علماء الرياضيات.
تقدمت الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية.
حُلّت نسخ من المسألة في أبعاد أخرى.
لكن الحالة التي بدأ منها بوانكاريه بقيت عصية.
حتى جاء عام 2000.
اختار معهد كلاي للرياضيات سبع مسائل اعتبرها من أعمق المسائل المفتوحة في الرياضيات، وأطلق عليها:
مسائل الألفية السبع.
ووضع لكل واحدة منها جائزة قدرها مليون دولار.
كانت حدسية بوانكاريه واحدة منها.
فجأة أصبحت المسألة التي عاش معها الرياضيون قرنًا تقريبًا تحمل إلى جانبها رقمًا يستطيع الجمهور فهمه بسهولة:
1,000,000 دولار.
لكن الرياضيين لم يكونوا يبحثون عن الرقم.
كانوا يبحثون عن شيء أكثر صعوبة بكثير:
طريقة تجعل كلمة «نعم» التي كتبها بوانكاريه تتحول إلى يقين.
—
قبل بيرلمان كان هناك هاملتون
قصص العباقرة تصبح أحيانًا أجمل مما يسمح به التاريخ.
يظهر رجل منفرد.
ينظر إلى مشكلة لم يفهمها أحد.
ثم يحلها.
لكن العلم الحقيقي لا يعمل بهذه الطريقة غالبًا.
قبل بيرلمان كان هناك عالم أمريكي اسمه ريتشارد هاملتون.
في مطلع الثمانينيات، طور هاملتون أداة مذهلة تسمى:
تدفق ريتشي — Ricci Flow.
لفهمها بصورة تقريبية، تخيل سطحًا مليئًا بالنتوءات والتعرجات.
الحرارة عندما تنتشر تميل إلى تسوية الفروق بين الأماكن الساخنة والباردة.
تدفق ريتشي يفعل شيئًا مشابهًا مع الانحناء الهندسي.
تدع هندسة الفضاء نفسها تتطور مع الزمن، لعل هذا التطور يكشف بنيته الحقيقية.
كانت الفكرة قوية جدًا.
لكنها اصطدمت بعقبة.
أثناء التدفق قد تظهر أماكن يصبح فيها الانحناء شديدًا بصورة خطرة.
تفردات — Singularities.
كأن الطريق الذي نحاول تسويته يصنع فجأة عقدة حادة تمنعنا من الاستمرار.
فتح هاملتون الباب.
لكنه لم يتمكن من عبور الباب كله.
كان ينقصه شيء.
وهنا دخل بيرلمان.
—
الطفل الذي حصل على 42 من 42
وُلد غريغوري ياكوفليفيتش بيرلمان عام 1966 في لينينغراد، التي عادت لاحقًا إلى اسمها القديم: سانت بطرسبورغ.
ظهرت موهبته الرياضية مبكرًا.
وفي عام 1982 شارك في الأولمبياد الدولي للرياضيات ممثلًا للاتحاد السوفييتي.
كانت هناك ست مسائل.
الدرجة القصوى: 42 نقطة.
نتيجة بيرلمان:
42 من 42.
ميدالية ذهبية.
لا خطأ.
ولا نقطة ضائعة.
لكن العبقرية المبكرة لا تضمن حل واحدة من أعقد مشكلات القرن.
كان الطريق لا يزال طويلًا.
درس بيرلمان الهندسة والطوبولوجيا، وعمل في بيئات بحثية متقدمة، ثم أصبح أكثر ابتعادًا عن الأضواء الأكاديمية.
وفي بداية القرن الحادي والعشرين، كان يعمل بصمت على المشكلة التي توقفت عندها أفكار هاملتون.
ثم حدث شيء غريب بمعايير الاكتشافات الكبرى.
—
ثلاث أوراق على الإنترنت
في نوفمبر/تشرين الثاني 2002، نشر بيرلمان ورقة بحثية على موقع arXiv.
ثم نشر ورقتين أخريين خلال عام 2003.
لم يعقد مؤتمرًا صحفيًا.
لم يعلن أنه حل «مسألة المليون».
ولم يبدأ حملة لإقناع العالم بعبقريته.
وضع البرهان أمام الرياضيين.
ثم تركهم يعملون.
وكانت الفكرة ضخمة.
استطاع بيرلمان أن يطور برنامج هاملتون لتدفق ريتشي، وأن يقدم أدوات جديدة لفهم التفردات والسيطرة عليها.
والنتيجة كانت أكبر من حل حدسية بوانكاريه وحدها.
فالعمل كان مرتبطًا بإثبات حدسية الهندسة لثورستون، وهي رؤية أوسع بكثير لطبيعة الفضاءات ثلاثية الأبعاد، وتأتي حدسية بوانكاريه بوصفها إحدى نتائجها.
لقد كان الأمر كما لو أن شخصًا طُلب منه فتح باب واحد…
فكشف عن مخطط المبنى كله.
لكن الرياضيات لم تحتفل بعد.
بدأت المرحلة التي تجعل العلم مختلفًا عن الاعتقاد.
—
حاولوا هدم البرهان
عندما يقدم شخص برهانًا على مسألة بهذا الحجم، فإن أفضل علماء العالم لا يجتمعون أولًا ليصفقوا له.
يجتمعون لكي يبحثوا عن الخطأ.
وهذا ليس عداءً.
إنه جوهر الرياضيات.
كل خطوة تُفحص.
كل نتيجة يُعاد اشتقاقها.
كل افتراض يمر تحت المجهر.
وإذا وُجد ثقب صغير في البرهان، فلا يهم كم كان صاحبه عبقريًا ولا كم استغرق من السنوات.
يسقط البرهان.
لذلك أمضى علماء الرياضيات سنوات في تفكيك أوراق بيرلمان وإعادة شرحها وتوسيع تفاصيلها والتأكد من أن الطريق الذي رسمه يصل بالفعل إلى النهاية.
وبحلول عام 2006، أصبح الحكم الرياضي واضحًا:
البرهان صمد.
المسألة التي طرحها بوانكاريه عام 1904 لم تعد حدسية.
أصبحت حقيقة مثبتة.
بعد نحو قرن من الانتظار.
وهنا كان يفترض أن تبدأ حياة بيرلمان الجديدة.
لكن بدلًا من ذلك، بدأ اختفاؤه.
—
الميدالية التي لم يردها
اختير بيرلمان عام 2006 لنيل ميدالية فيلدز.
بالنسبة إلى عالم رياضيات شاب نسبيًا، يصعب تخيل تكريم أكبر.
لكن بيرلمان رفضها.
كان موقفه من الاعتراف العلمي مختلفًا عمّا اعتاده الوسط الأكاديمي.
وقد أظهر في مقابلاته القليلة اعتراضات على جوانب من ثقافة المؤسسة الرياضية، وعلى مسائل تتعلق بمن يُمنح الفضل وكيف يُوزع الاعتراف.
لذلك فإن اختزال رفضه في عبارة:
«كان لا يحب المال والشهرة»
يظلمه بقدر ما يمجده.
الأمر كان أكثر تعقيدًا.
لم يكن بيرلمان يؤدي دور الزاهد أمام الكاميرات.
كان ببساطة قد ابتعد أصلًا عن اللعبة التي تريد الكاميرات تصويرها.
ثم جاء الاختبار الأكبر.
—
المليون دولار
في مارس/آذار 2010، أعلن معهد كلاي رسميًا منح غريغوري بيرلمان جائزة الألفية عن حل حدسية بوانكاريه.
قيمة الجائزة:
مليون دولار.
هذه المرة لم تكن ميدالية يمكن وضعها في درج.
كان مبلغًا يستطيع تغيير حياة شخص.
وكان بإمكان بيرلمان أن يقبله ثم يستمر في حياته كما يريد.
لكنه رفضه.
مرة أخرى.
وهكذا أصبحت القصة في الصحافة:
الرجل الذي رفض مليون دولار.
لكن ثمة مفارقة هنا.
إذا جعلنا المليون محور قصة بيرلمان، فإننا نفعل بالضبط ما يبدو أنه رفضه:
نقيس الإنجاز بشيء خارج الإنجاز نفسه.
—
لم يحل بيرلمان المسألة وحده
من الضروري هنا أن نزيل طبقة أخرى من الأسطورة.
هل كان بيرلمان عبقريًا استثنائيًا؟
نعم.
هل كان اختراقه حاسمًا؟
بلا شك.
لكن هل بدأت الرياضيات معه؟
لا.
بوانكاريه طرح السؤال.
هاملتون بنى مشروع تدفق ريتشي الذي أصبح أساس الطريق.
وليام ثورستون طور رؤية الهندسة التي وسعت السؤال.
وعشرات الرياضيين بنوا الأدوات والنظريات التي دخلت، بصورة مباشرة أو غير مباشرة، في عالم البرهان.
ثم جاء علماء آخرون بعد بيرلمان وفككوا أوراقه وشرحوا تفاصيلها وأعادوا بناء البرهان بحيث يستطيع المجتمع الرياضي التحقق منه.
هذه ليست طريقة لتقليل إنجاز بيرلمان.
بل العكس.
إنها الطريقة الصحيحة لفهم العلم.
العبقري لا يبدأ من الصفر.
إنه يقف فوق جبل بناه كثيرون، ثم يرى من قمته طريقًا لم يره أحد قبله.
—
لماذا نهتم أصلًا؟
هنا قد يسأل القارئ السؤال الطبيعي:
ما الذي سيتغير في حياتي إذا عرفنا أن فضاءً ثلاثي الأبعاد من نوع معين هو كرة ثلاثية؟
ربما لا شيء عندما تستيقظ غدًا.
لن تصبح القهوة ألذ.
ولن يقل الازدحام.
لكن هذا السؤال نفسه يمكن أن يطرح على كثير من أعظم لحظات المعرفة البشرية.
لماذا أراد الإنسان معرفة شكل الذرة؟
لماذا أراد أن يعرف إن كان الكون يتمدد؟
لماذا أراد أن يفهم الأعداد الأولية؟
هناك معرفة نبحث عنها لأنها نافعة فورًا.
وهناك معرفة نبحث عنها لسبب أعمق:
لأن هناك شيئًا لا نفهمه.
والإنسان كائن لا يحب أن يبقى الباب المغلق مغلقًا.
حدسية بوانكاريه كانت سؤالًا عن هوية الفضاء.
هل يمكننا أن نستنتج شكل شيء كامل من الطريقة التي تتصرف بها الحلقات داخله؟
وهذا سؤال يتجاوز الكرة والدونات.
إنه يسأل:
كيف نعرف حقيقة شيء عندما لا نستطيع رؤيته من الخارج؟
—
الجائزة جاءت بعد السؤال بستة وتسعين عامًا
هناك حقيقة صغيرة تعيد كل شيء إلى حجمه الصحيح.
طرح بوانكاريه مسألته عام 1904.
وأعلن معهد كلاي جائزة المليون عام 2000.
أي أن الرياضيين حاولوا حل المسألة لمدة تقارب ستة وتسعين عامًا قبل وجود الجائزة.
هاملتون لم يبدأ مشروعه لأن هناك مليون دولار.
وبيرلمان لم يدخل عالم الهندسة لأن هناك شيكًا ينتظره.
الجائزة جاءت متأخرة جدًا إلى حفلة بدأت قبلها بنحو قرن.
ولهذا فإن المليون، رغم أنه صنع العناوين، لم يكن أبدًا قلب القصة.
القلب كان السؤال.
ثم البرهان.
—
الرجل الذي خرج من الصورة
في معظم قصص النجاح نعرف النهاية مسبقًا.
يصل الإنسان إلى القمة.
تقف الكاميرات.
يتسلم الجائزة.
ترتفع الموسيقى.
تنتهي الحكاية.
بيرلمان أفسد هذه النهاية.
وصل إلى القمة…
ثم خرج من الصورة.
ولذلك ما زالت قصته تثير الفضول.
ليس لأننا لا نفهم الرياضيات التي حلها فقط.
بل لأننا لا نفهم بسهولة شخصًا يستطيع أن يفصل بين الإنجاز والتصفيق للإنجاز.
منذ طفولتنا، نتعلم أن النجاح يحتاج إلى علامة خارجية.
درجة.
شهادة.
لقب.
ترقية.
ميدالية.
مال.
تصفيق.
شيء يقول لنا إن ما فعلناه كان مهمًا.
لكن بيرلمان امتلك شيئًا أكثر قسوة ووضوحًا من كل ذلك.
كان لديه برهان.
والبرهان في الرياضيات لا يحتاج إلى رأي الجمهور.
إما أن يكون صحيحًا…
أو لا يكون.
—
المليون الذي لم يكن هو الجائزة
رفض بيرلمان الميدالية.
ثم رفض المليون.
لكن إرثه ليس الرفض.
لو بقيت قصته مجرد حكاية رجل رفض المال، لما استحقت أكثر من خبر طريف.
ما يجعلها إحدى أجمل قصص الرياضيات أن رجلًا دخل إلى سؤال تركه بوانكاريه مفتوحًا عام 1904…
وخرج منه بالبرهان بعد قرابة مئة عام.
ثم ترك الآخرين يتجادلون حول الجوائز.
قد نختلف مع اختياراته.
وقد لا نعرف تمامًا كل ما دار في ذهنه.
ولا ينبغي أن نحوله إلى قديس للرياضيات أو إلى نموذج يجب تقليده.
لكن قصته تضع أمامنا سؤالًا لا يحتاج إلى معرفة الطوبولوجيا حتى نفهمه.
بوانكاريه ترك للرياضيين سؤالًا عن شكل الفضاء.
أما بيرلمان، فترك لنا سؤالًا عن شكل النجاح.
لقد أثبت الأول.
وترك الثاني مفتوحًا:
إذا كنت تعرف أنك وصلت إلى الحقيقة… فكم تحتاج بعد ذلك إلى أن يخبرك الآخرون أنك نجحت؟